[Springer handbook] 2. Kinematics - 2.2 Position and Orientation Representation

Spatial, rigid-body kinematics

Body의 pose를 표현하는 다양한 방법들을 비교하는 연구라고 볼 수 있다.
Translation과 rotation은 합쳐서 rigid-body displacements라 불리고, 이런 다양한 방법들을 통해 표현된다.
각 방법은 모든 목적에 대해 최적일 수는 없지만, 각각의 장점들을 적절히 활용하여 서로 다른 문제들을 해결할 수 있다.
Euclidean 공간에서 하나의 body를 위치시키는데 필요한 좌표(coordinates)의 최소 개수는 6개이다.
Spatial pose (공간에서의 자세)를 표현하는 많은 방법들은 매우 풍부한 좌표 집합을 사용하는데, 이 좌표들 사이에는 보조 관계(auxiliary relationships)들이 존재한다. 이때 독립적인 보조 관계들은 집합 내의 좌표의 수와 6과의 차이만큼 존재한다.

Coordiante frame

이번 챕터와 따라오는 챕터들에서는 coordinate frames (줄여서 frames)를 자주 사용한다.

Coordinate frame i은 다음을 포함한다.
- 원점(origin) $O_i$
- 서로 수직인 basis vector $(\hat{x}_i, \hat{y}_i, \hat{z}_i)$
  - Mutually orthogonal
- 모두 특정 body에 고정되어 있음 -> 각 body에는 고유의 coordinate frame이 존재
각 body에는 고유의 coordinate frame이 존재하므로 각 body의 pose는 coordinate frame의 pose로 표현될 수 있다.
- Body의 pose는 항상 어떤 다른 body에 대해 상대적으로 표현된다. 따라서 body의 pose를 표현하기 위해서는 다른 coordinate frame을 기준으로 해당 body의 coordinate frame의 상대적인 pose를 구해야 한다.
비슷하게, rigid-body의 displacement(변위)는 두 coordinate frame 사이의 displacement로 표현될 수 있다. 이때 한 frame은 moving, 다른 frame은 fixed로 불린다.
- 이는 관찰자가 fixed frame에서 정지 위치에 있음을 나타내는 것이지, 어떤 절대적인 fixed frame이 있음을 나타내는 것은 아니다.

(그림 - coordinate frame)

2.2.1 Position and Displacement

Poistion

Coordinate frame i의 원점의 coordinate frame j에 대한 상대적인 위치(position)는 $3 \times 1$ vector로 나타낼 수 있다. $^{j}\mathbf{p}_{i}=(^{j}p_i^x, ^{j}p_i^y, ^{j}p_i^z)^T$

이 vector의 원소들은 j frame 기준으로 본 $O_i$의 Cartesian coordinate이다.

이는 vector $^{j}\mathbf{p}_{i}$를 j frame의 각 basis vector로 projection한 값이다.

마찬가지로 spherical 또는 cylindrical coordinates로도 표현할 수 있다.

이는 spherical과 cylindrical joints를 포함하는 robotic mechanism을 분석할 때 장점이 있다.

Displacement

Translation

Rigid body 상의 어떤 point도 초기 위치를 유지하지 않고, rigid body 상의 모든 직선이 처음의 방향과 평행을 유지하는 displacement

어떤 position에 대한 표현도 translation (displacement)을 표현하는데 사용될 수 있고, 그 반대도 마찬가지. (position $\Leftrightarrow$ translation)

2.2.2 Orientation and Rotation

Position에 대한 표현보다 orientation에 대한 표현이 훨씬더 광범위하다. 이 섹션에서는 robotic mechanism에 가장 일반적으로 적용되는 표현들에 중점을 둔다.

Rotation

Rigid body 상의 적어도 한 점이 초기 위치를 유지하고, body 상의 모든 직선이 초기 방향과의 평행을 유지하지 않는 displacement

예를 들면, 어떤 body가 있다고 회전 축(axis)을 중심으로 회전할 때 회전 축 상에 존재하는 body 상의 point들은 초기 위치를 유지한다.
Position과 translation의 경우와 마찬가지로, 어떤 orientation에 대한 표현도 rotation (displacement)을 표현하는데 사용될 수 있고, 그 반대도 마찬가지. (orientation $\Leftrightarrow$ rotation)

Rotation Matrices

Euler Angles

Fixed Angles

Angle-Axis

Quaternions

2.2.3 Homogeneous Transformations

2.2.4 Screw Transformations

Chasles’ Theorem

Rodrigues’ Equation

어떤 body에 대해 다음 3가지가 주어지면 그 body 상의 임의의 점의 displacement를 찾을 수 있다. 1) Screw axis 2) Angular displacement of a body about it 3) Translation of the body along it

Matrix transformation이 body의 displacement를 표현한다는 관점에서, 이 문제는 주어진 screw displacement에 대응하는 matrix transformation을 찾는 문제와 같다.

2.2.5 Matrix Exponential Parameterization

한 body의 position과 orientation은 또한 exponential mapping과 함께 통합된 방식으로 표현될 수 있다. 이 방법은 먼저 rotation만 존재하는 application에 소개되었고 rigid-body motion으로 확장되었다.

Hoosang Lee